Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a＞0）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲線y=f（x）上的任意一點(diǎn)，若以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）討論關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$的實(shí)根的個數(shù)情況．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀對x₀＞0恒成立，從而求出a的最小值；
（3）問題轉(zhuǎn)化為b=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，x＞0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-b+$\frac{1}{2}$，通過討論h（x）的單調(diào)性，從而判斷出方程f（x）=0的根的情況．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，定義域?yàn)椋?，+∞），…（1分）
則$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$…（2分）
令f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．…（4分）
（2）由題意，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k滿足k=f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（x₀＞0），
所以a≥-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀對x₀＞0恒成立．…（6分）
又當(dāng)x₀＞0時(shí)，-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀≤$\frac{1}{2}$，所以a的最小值為$\frac{1}{2}$…（8分）
（3）由題意，方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$化簡得
b=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，x＞0，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-b+$\frac{1}{2}$，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1+x）（1-x）}{x}$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
所以h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．…（10分）
所以h（x）在x=1處取得極大值，即最大值，最大值為
h（1）=ln1-$\frac{1}{2}$×1²-b+$\frac{1}{2}$=-b…（11分）
所以當(dāng)-b＞0時(shí)，即b＜0時(shí)，y=h（x）的圖象與x軸恰有兩個交點(diǎn)，
方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$有兩個實(shí)根；…（12分）
當(dāng)b=0時(shí)，y=h（x）的圖象與x軸恰有一個交點(diǎn)，
方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$有一個實(shí)根；…（13分）
當(dāng)b＞0時(shí)，y=h（x）的圖象與x軸無交點(diǎn)，
方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$無實(shí)根．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，曲線的切線方程問題，是一道綜合題．