Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），離心為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點(diǎn)B（0，-2）及左焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F₂．
求：（1）橢圓的方程；
（2）三角形CDF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)A代入橢圓方程及$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）知過點(diǎn)B（0，-2）及F₁（-1，0）的直線方程為：2x+y+2=0，利用公式可得右焦點(diǎn)F₂（1，0）到CD的距離d、|CD|，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），
∴$\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，即b²=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
∴過點(diǎn)B（0，-2）及F₁（-1，0）的直線方程為：2x+y+2=0，
由題可設(shè)C（x₁，-2（1+x₁）），D（x₂，-2（1+x₂）），（不妨令x₁＜x₂），
∵C、D在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，
∴右焦點(diǎn)F₂（1，0）到CD的距離d=$\frac{|2+0+2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+$4（1+{x}_{1}）^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+4$（1+{x}_{2}）^{2}$=1，
解得：x₁=-$\frac{8+\sqrt{10}}{9}$，x₂=$\frac{\sqrt{10}-8}{9}$，
∴|CD|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{5（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{10\sqrt{2}}{9}$，
∴三角形CDF₂的面積為：$\frac{1}{2}$•d•|CD|=$\frac{1}{2}•\frac{4\sqrt{5}}{5}•\frac{10\sqrt{2}}{9}$=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的方程，求三角形的面積，注意解題方法的積累，屬于中檔題．