Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，0＜x≤4}\\{|x-6|，x＞4}\end{array}\right.$，若方程f（x）=kx+1有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{6}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$）
• D． （-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 在直角坐標(biāo)系中，分別畫出y=f（x）的圖象和直線y=kx+1，由題意可得即要求得圖象有三個(gè)交點(diǎn)的情況．求得直線和曲線y=$\sqrt{x}$相切，以及直線經(jīng)過點(diǎn)（6，0），由圖象，即可得到k的范圍．

解答 解：在直角坐標(biāo)系中，分別畫出
y=f（x）的圖象和直線y=kx+1，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（6，0）時(shí)，
即k=-$\frac{1}{6}$，直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線與y=$\sqrt{x}$在（0，4]相切，
設(shè)切點(diǎn)為（m，$\sqrt{m}$），
由y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
切線的斜率為k=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$，
又km+1=$\sqrt{m}$，
解得m=4，k=$\frac{1}{4}$，
要使直線和曲線有三個(gè)交點(diǎn)，
則k的范圍是（-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，主要考查圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法是解題的關(guān)鍵．