Question

19．分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦•曼得爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖：

記圖乙中第n行白圈的個數(shù)為a_n，則：（Ⅰ）a₄=14；（Ⅱ）a_n=$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，根據(jù)第三行的數(shù)據(jù)可求出第四行的白圈的個數(shù)；
（Ⅱ）再根據(jù)前五行的白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可歸納第n行的白圈數(shù)

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)圖甲所示的分形規(guī)律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，
記某行白圈x個，黑圈y個為（x，y），
則第一行記為（1，0），
第二行記為（2，1），
第三行記為（5，4），
第四行記為（14，13）
故a₄=14
（Ⅱ）各行白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的白圈數(shù)為$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$，
故答案為：14，$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．