Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$的值域為（1，$\frac{2}{m}$），則實數(shù)m的值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，根據(jù)函數(shù)f（x）的值域為（1，$\frac{2}{m}$），可得2＞m＞1，x→-∞，1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$→$\frac{2}{m}$，即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1+m-1}{{e}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，
∵函數(shù)f（x）的值域為（1，$\frac{2}{m}$），
∴2＞m＞1，x→-∞，1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$→$\frac{2}{m}$，
∴1+$\frac{m-1}{1}$=$\frac{2}{m}$，解得m=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、極限的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．