Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）和向量$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）．
（1）設f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，求f（x）的解析式；
（2）若命題p：“?x∈[0，π]，f（x）≥k”為真命題，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量和三角函數(shù)的知識化簡可得f（x）=cos2x-2|sinx|；
（2）當x∈[0，π]時，f（x）=cos2x-2sinx=-2（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值和恒成立可得．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）和向量$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{2-2cos2x}$
=$\sqrt{2（1-1+2si{n}^{2}x）}$=2|sinx|，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=cos2x-2|sinx|；
（2）當x∈[0，π]時，f（x）=cos2x-2sinx
=-2sin²x-2sinx+1=-2（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
由二次函數(shù)可知當sinx=1時，f（x）取最小值-3，
∵?x∈[0，π]，f（x）≥k恒成立，∴k≤-3

點評 本題考查復合命題的真假，涉及向量和三角函數(shù)的知識以及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．