Question

4．在等腰△ABC中，AB=AC，|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{6}$，則△ABC面積的最大值為4．

Answer 1

分析 以BC為x軸，以BC的垂直平分線為y軸，設(shè)C（m，0），A（0，n），B（-m，0），（m＞0，n＞0），根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，求出$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$=（3m，-n），
再根據(jù)向量的模的計算得到9m²+n²=24，根據(jù)基本不等式即可求出mn的最大值，即為△ABC面積的最大值．

解答 解：以BC為x軸，以BC的垂直平分線為y軸，設(shè)C（m，0），A（0，n），B（-m，0），（m＞0，n＞0）
∴$\overrightarrow{AC}$=（m，-n），$\overrightarrow{BC}$=（2m，0），
∴$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$=（3m，-n），
∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{6}$，
∴9m²+n²=24，
∵24=9m²+n²≥2•3m•n=6mn，當(dāng)且僅當(dāng)3m=n時，即n=2$\sqrt{3}$，m=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
∴mn≤4，
∴S_△ABC=mn≤4，
∴△ABC面積的最大值為4，
故答案為：4．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算，模的計算，基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．