Question

1．在平面直角坐標系內(nèi)，已知⊙O₁：（x+2）²+y²=1，⊙O₂：（x-2）²+y²=1，過平面內(nèi)一點P分別作⊙O₁和⊙O₂的切線PM，PN，其中M，N為切點，且PM=$\sqrt{3}$PN，記△PMO₁和△PNO₂的面積分別為S₁，S₂，則（S₁+S₂）²的最大值為16+4$\sqrt{13}$+8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，設(shè)P點坐標，列方程，化簡，求出P的軌跡方程，（S₁+S₂）²=$\frac{1}{4}$（PM+PN）²=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$PN²，求出PO₂²的最大值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，O₁（-2，0），O₂（2，0），
由已知PM=$\sqrt{3}$PN，得PM²=3PN²．
因為兩圓的半徑均為1，所以PO₁²-1=3（PO₂²-1）．
設(shè)P（x，y），則（x+2）²+y²-1=3[（x-2）²+y²-1]，
即（x-4）²+y²=13，
（S₁+S₂）²=$\frac{1}{4}$（PM+PN）²=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$PN²，
求出PO₂²的最大值，即可得出結(jié)論．
∵PO₂的最大值為2+$\sqrt{13}$，
∴PO₂²的最大值為17+4$\sqrt{13}$，
∴PN²的最大值16+4$\sqrt{13}$，
∴（S₁+S₂）²的最大值為$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$×（16+4$\sqrt{13}$）=16+4$\sqrt{13}$+8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{39}$．
故答案為：16+4$\sqrt{13}$+8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{39}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，確定P的軌跡方程是關(guān)鍵．