【題目】如圖， 是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，BE與平面所成角為．

（Ⅰ）求證：平面 ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段BD上，且平面BEF，求的長(zhǎng)．

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)果和空間向量的結(jié)論求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求得的長(zhǎng)．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>是正方形，所以，

又BD，DE交于點(diǎn)E，從而平面．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>DA，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

因?yàn)?/span>BE與平面所成角為，即

所以．由可知，

則，，，，，

所以，

設(shè)平面BEF的法向量為，則，

即，令，則

因?yàn)?/span>平面，所以為平面的法向量，，

所以．

因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ）點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．則，

因?yàn)?/span>平面BEF，所以，

即，解得．

此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為，，符合題意．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A. 命題：“若，則”的逆否命題是“若，則”

B. “”是“”的充分不必要條件

C. 命題：“， ”的否定是“， ”

D. 若“”為假命題，則均為假命題

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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．

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【題目】口袋里裝有編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球，有放回的抽取兩次，記錄兩次取到小球的編號(hào)分別為，.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：

①若，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；

②若，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；

③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).

（Ⅰ）求小亮獲得玩具的概率；

（Ⅱ）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，且．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，當(dāng)直線恰與拋物線相切時(shí)，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知

（1）求的軌跡

（2）過軌跡上任意一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)直線的斜率分別是，試問在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下， 是否是定值，請(qǐng)說明理由，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

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【題目】如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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【題目】（1）若關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞0（a∈R）的解集為{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值；

（2）解關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．

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