Question

5．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=1和兩點(diǎn)A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上不存在點(diǎn)P，使得∠APB為直角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，4）∪（6，+∞）．

Answer 1

分析 C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），由已知得m²=a²+b²=|OP|²，m的最值即為|OP|的最值，可得結(jié)論．

解答 解：圓C：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心C（3，4），半徑r=1，
設(shè)P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
若∠APB=90°，則$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+m）（a-m）+b²=0，
∴m²=a²+b²=|OP|²，
∴m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值為5-1=4，
∴m的取值范圍是（0，4）∪（6，+∞）．
故答案為：（0，4）∪（6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．