Question

15．設(shè)各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₉：S₃=3：1，則S₆：S₃=2：1．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，討論q=1和q≠1，由求和公式即可求得公比，進(jìn)而得到所求值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
若q=1，則S_n=na₁，滿足S₉：S₃=3：1，
即有S₆：S₃=2：1；
若q≠1，由S₉：S₃=3：1，
可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$：$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=3：1，
即有1-q⁹=3（1-q³），即有1+q³+q⁶=3，
解得q³=-2或1，
由題設(shè)可得q＞0且q≠1，
故舍去-2或1．
故答案為：2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，注意討論公比為1的情況，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．