Question

5．已知θ是第二象限的角，且sin$\frac{θ}{2}$＜cos$\frac{θ}{2}$，那么sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （-1，1）
• D． （-$\sqrt{2}$，-1）

Answer 1

分析 先確定k=2n+1，2nπ+$\frac{5}{4}$π＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{3}{2}$π，sin$\frac{θ}{2}$＜0，cos$\frac{θ}{2}$＜0，再確定sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$的取值范圍．

解答 解：∵θ是第二象限的角，∴2kπ+$\frac{π}{2}$＜θ＜2kπ+π（k∈Z），
∴kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
k=2n，2nπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{π}{2}$，不滿足sin$\frac{θ}{2}$＜cos$\frac{θ}{2}$，
∴k=2n+1，2nπ+$\frac{5}{4}$π＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{3}{2}$π，sin$\frac{θ}{2}$＜0，cos$\frac{θ}{2}$＜0
∵（sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$）²=1+sinθ，
∴1＜1+sinθ＜2，
∴-$\sqrt{2}$＜sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$＜-1，
故選：D．

點評 本題考查sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$的取值范圍，考查學生的計算能力，確定2nπ+$\frac{5}{4}$π＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{3}{2}$π是關(guān)鍵．