Question

8．規(guī)定 $C_x^m=\frac{x（x-1）…（x-m+1）}{m!}$，其中x∈R，m是正整數(shù)，這是組合數(shù)$C_n^m$（m、n是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．設(shè)x＞0，則$\frac{C_x^3}{{{{（C_x^1）}^2}}}$最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意化簡$\frac{C_x^3}{{{{（C_x^1）}^2}}}$，利用基本不等式即可求出它的最小值．

解答 解：根據(jù)題意，x＞0時，
$\frac{C_x^3}{{{{（C_x^1）}^2}}}$=$\frac{x（x-1）（x-2）}{{6x}^{2}}$
=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{6x}$
=$\frac{x}{6}$+$\frac{1}{3x}$-$\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{x}{6}•\frac{1}{3x}}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{6}$=$\frac{1}{3x}$，即可x=$\sqrt{2}$時取“=”，
所以$\frac{C_x^3}{{{{（C_x^1）}^2}}}$的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．