Question

14．求證：1+$\frac{2sinαcosα}{1+sinα+cosα}$=$\frac{si{n}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{sinα+cosα}{ta{n}^{2}α-1}$．

Answer 1

分析 根據同角的三角函數基本關系，分別化簡等式的左邊與右邊，看左右是否相等即可．

解答 證明：左邊=1+$\frac{2sinαcosα}{1+sinα+cosα}$
=$\frac{1+sinα+cosα+2sinαcosα}{1+sinα+cosα}$
=$\frac{{（sinα+cosα）}^{2}+（sinα+cosα）}{1+sinα+cosα}$
=$\frac{（sinα+cosα）（1+sinα+cosα）}{1+sinα+cosα}$
=sinα+cosα，
右邊=$\frac{si{n}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{sinα+cosα}{ta{n}^{2}α-1}$
=$\frac{{sin}^{2}α}{sinα-cosα}$-$\frac{（sinα+cosα{）cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{-cos}^{2}α}$
=$\frac{{sin}^{2}α（sinα+cosα）}{（sinα-cosα）（sinα+cosα）}$-$\frac{（sinα+cosα{）cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{-cos}^{2}α}$
=$\frac{（sinα+cosα）{（sin}^{2}α{-cos}^{2}α）}{{sin}^{2}α{-cos}^{2}α}$
=sinα+cosα；
∴左邊=右邊，等式成立．

點評 本題露出了三角函數恒等式的證明問題，解題時應靈活應用同角的三角函數基本關系，是基礎題目．