Question

3．已知點(diǎn)（x，y）是區(qū)域$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤2n}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，（n∈N^*）內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，z的最大值記作z_n．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且點(diǎn)（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線性規(guī)劃原理，可得z的最大值z_n=2n，從而得到S_n=2n-a_n．運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系，算出2a_n=a_n-1+2，由此代入數(shù)列{a_n-2}再化簡整理，即可得到{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，公比q=$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（II）由（I）結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式，得出a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1，從而得到S_n=2n-2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可算出{S_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

解答 解：（Ⅰ）∵目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線：z=x+y，
區(qū)域$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y≤2n}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，（n∈N^*），表示以x軸、y軸和直線x+2y=2n為三邊的三角形，
∴當(dāng)x=2n，y=0時(shí)，z的最大值z_n=2n
∵（S_n，a_n）在直線z_n=x+y上
∴z_n=S_n+a_n，可得S_n=2n-a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，可得a_n=S_n-S_n-1=（2n-a_n）-[2（n-1）-a_n-1]
化簡整理，得2a_n=a_n-1+2
因此，a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1+2）-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2）
當(dāng)n=1時(shí)，a_n-2=a₁-2=-1
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，公比q=$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
得a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（II）b_n=na_n，b_n=2n-n（$\frac{1}{2}$）^n-1；
設(shè)：An=n（$\frac{1}{2}$）^n-1，前n項(xiàng)和Mn，
Mn=1×${（\frac{1}{2}）}^{0}$+2×$（{\frac{1}{2}）}^{1}$+3$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+n（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$Mn=1×$\frac{1}{2}$+2×$（\frac{1}{2}）^{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{3}$+…+n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減：$\frac{1}{2}$Mn=1+$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{2}）^{2}$+$（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴Mn=4-（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$-4+（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
=n²+n-4+（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1．
Mn=n²+n-4+（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點(diǎn)評 本題給出數(shù)列和線性規(guī)劃相綜合的問題，求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和與簡單線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．