Question

19．某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速v n mile/h（4 n mile/h≤t≤20 n mile/h）從A港出發(fā)到距50 n mile的B港，然后乘汽車以勻速ω km/h（30 km/h≤ω≤100 km/h）自B港向距300km的C市駛?cè)�，�?yīng)該在同一天下午4點(diǎn)至9點(diǎn)到達(dá)C市．設(shè)汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是x h和y h，所需要的經(jīng)費(fèi)P=100+3•（5-x）+2•（8-y）元，求v、ω分別是多少時(shí)走的最經(jīng)濟(jì)？此時(shí)需要花費(fèi)多少元？

Answer 1

分析 分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，即x，y滿足的約束條件；由約束條件畫出可行域，要求走得最經(jīng)濟(jì)，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．

解答 解：依題意得v=$\frac{50}{y}$，ω=$\frac{300}{x}$，4≤v≤20，30≤ω≤100．
∴3≤x≤10，$\frac{5}{2}$≤y≤$\frac{25}{2}$．
由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14個(gè)小時(shí)之間，即9≤x+y≤14．
∴x，y應(yīng)滿足的線性約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{3≤x≤10}\\{\frac{5}{2}≤y≤\frac{25}{2}}\\{9≤x+y≤14}\end{array}\right.$，如圖中陰影部分（包括邊界）．
∵P=100+3•（5-x）+2•（8-y），
∴3x+2y=131-P．
設(shè)131-P=k，那么當(dāng)k最大時(shí)，p最�。�
在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為-$\frac{3}{2}$的直線3x+2y=k中，
使k值最大的直線必通過點(diǎn)（10，4），即當(dāng)x=10，y=4時(shí)，P最�。�
此時(shí)，v=12.5，ω=30，P的最小值為93元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式關(guān)系的建立，考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．