Question

已知向量

a

=（

3

sinx，cisx），

b

=（cosx，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數(shù)f（x）的最值，并指出f（x）取得最值時(shí)x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積求出f（x）的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合區(qū)間x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函數(shù)f（x）的最值以及對(duì)應(yīng)x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴當(dāng)sin(2x+

π

6

)=-

1

2

時(shí)，f（x）取得最小值0，此時(shí)2x+

π

6

=-

π

6

，∴x=-

π

6

，
∴當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，f（x）取得最大值

3

2

，此時(shí)2x+

π

6

=

π

2

，∴x=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合題．