在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且cos(A-
π
3
)=2cosA
(1)若cosC=
6
3
,BC=3,求AC.
(2)若B∈(0,
π
3
),且cos(A-B)=
4
5
,求sinB.
考點(diǎn):正弦定理,余弦定理
專題:解三角形
分析:已知等式左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡,整理后求出tanA的值,確定出A的度數(shù);
(1)由cosC的值,利用同角三角函數(shù)間的基本求出sinC的值,進(jìn)而求出sinB的值,利用正弦定理求出AC的長即可;
(2)由B的范圍,求出A-B的范圍,由cos(A-B)的值求出sin(A-B)的值,將sinB變形為sin[A-(A-B)],利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后,將各自的值代入計(jì)算即可求出值.
解答: 解:∵cos(A-
π
3
)=2cosA,
∴cosAcos
π
3
+sinAsin
π
3
=2cosA,即sinA=
3
cosA,
∵A∈(0,π),且cosA≠0,
∴tanA=
3

則A=
π
3
;
(1)∵sin2C+cos2C=1,cosC=
6
3
,C∈(0,π),
∴sinC=
1-cos2C
=
3
3
,
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
3
2
×
6
3
+
1
2
×
3
3
=
3
2
+
3
6

由正弦定理知:
AC
sinB
=
BC
sinA
,即
AC
3
2
+
3
6
=
3
3
2
,
則AC=1+
6

(2)∵B∈(0,
π
3
),∴A-B=
π
3
-B∈(0,
π
3
),
∵sin2(A-B)+cos2(A-B)=1,cos(A-B)=
4
5
,
∴sin(A-B)=
3
5

則sinB=sin[A-(A-B)]=sinAcos(A-B)-cosAsin(A-B)=
3
2
×
4
5
-
1
2
×
3
5
=
4
3
-3
10
點(diǎn)評:此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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已知數(shù)列1,a1,a2,9是等差數(shù)列,數(shù)列1,b1,b2,b3,9是等比數(shù)列,則
b2
a1+a2
=( 。
A、-
3
10
B、
3
10
C、±
3
10
D、
9
10

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=
2
,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PO⊥面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成的角的正切值.

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如圖,已知一艘我海監(jiān)船O上配有雷達(dá),其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域.一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā),徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼,速度為28km/h.問:這艘外籍輪船能否被我海監(jiān)船監(jiān)測到?若能,持續(xù)時(shí)間多長?(要求用坐標(biāo)法)

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已知向量
a
=(
3
sinx,cisx),
b
=(cosx,cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)若x∈[-
π
6
π
3
],求函數(shù)f(x)的最值,并指出f(x)取得最值時(shí)x的取值.

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設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,短軸長為4,點(diǎn)Q(2,
2
)在橢圓上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn),且
OA
OB
,求△OAB的面積的取值范圍.
(3)過M(x1,y1)的直線l1:x1x+2y1y=8
2
與過N(x2,y2)的直線l2:x2x+2y2y=8
2
的交點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓E上,直線MN與橢圓E的兩準(zhǔn)線分別交于G,H兩點(diǎn),求
OG
OH
的值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=
3-cos2x
2
-4t•sin
x
2
cos
x
2
+2t2-6t(x∈R),其中t∈R,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)-1≤t≤1時(shí),要使關(guān)于t的方程g(t)=kt有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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