Question

10．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線l上．
（1）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并求圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用兩角差的余弦公式和極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到所求；
（2）求得圓的圓心和半徑，由直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法，比較d與r的大小，再由直線和圓上的點(diǎn)的距離的最大值為d+r，即可得到所求．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，
即有ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=a，
即為x+y-$\sqrt{2}$a=0，
將A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）代入ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，
可得a=$\sqrt{2}$cos0=$\sqrt{2}$；
直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0；
（2）圓C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
即為（x-4）²+y²=1，即圓心為（4，0），半徑為1，
由d=$\frac{|4+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＞1，可得直線l和圓相離；
圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為d+r=$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．