Question

15．已知b∈R，若二次函數(shù)f（x）=x²+bx+1的圖象與一次函數(shù)g（x）=x的圖象有兩個交點，且兩個交點的橫坐標(biāo)x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂．
（1）若x₁=$\frac{1}{3}$，求x₂及函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，當(dāng)x∈[0，3]時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將x=$\frac{1}{3}$代入方程求出b，從而求出f（x）的遞增區(qū)間和x₂的值即可；（2）根據(jù)x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，求出b的值，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的值域．

解答 解：（1）x=$\frac{1}{3}$時：$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$b+1=$\frac{1}{3}$，解得：b=-$\frac{7}{3}$，
∴f（x）=x²-$\frac{7}{3}$x+1，
∴對稱軸x=$\frac{7}{6}$，開口向上，
∴f（x）在（$\frac{7}{6}$，+∞）遞增，
由x²-$\frac{7}{3}$x+1=x，解得：x₂=3；
（2）由x²+bx+1=x，
得：x²+（b-1）x+1=0，
∴x₁+x₂=1-b=$\frac{5}{2}$，解得：b=-$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+1，對稱軸x=$\frac{3}{4}$，開口向上，
∴f（x）在[0，$\frac{3}{4}$）遞減，在（$\frac{3}{4}$，3]遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{7}{16}$，f（x）_max=$\frac{11}{2}$，
∴f（x）∈[$\frac{7}{16}$，$\frac{11}{2}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值問題，是一道中檔題．