Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)是F（-c，0），離心率為e，過點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與圓x²+y²=c²在y軸右側(cè)交于點(diǎn)P，若P在拋物線y²=2cx上，則e²=（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，P（x，y），利用拋物線的定義、雙曲線的漸近線以及直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)：直徑所對的圓周角為直角即可得出所求值．

解答 解：如圖，設(shè)拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，P（x，y）．
由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{a}$，|FF′|=2c，
滿足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{a}③}\end{array}\right.$，
將①代入②得x²+2cx-c²=0，
則x=-c±$\sqrt{2}$c，
即x=（$\sqrt{2}$-1）c，（負(fù)值舍去），
代入③，即y=$\frac{\sqrt{2}bc}{a}$，
再將y代入①得，$\frac{2^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=2（$\sqrt{2}$-1）c²，
即為b²=c²-a²=（$\sqrt{2}$-1）a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．