Question

5．已知某廠每天的固定成本是20000元，每天最大規(guī)模的產(chǎn)品量是350件．每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的收入函數(shù)是R（x）=-$\frac{1}{2}$x²+400x，記L（x），P（x）分別為每天的生產(chǎn)x件產(chǎn)品的利潤(rùn)和平均利潤(rùn) （平均利潤(rùn)=$\frac{總利潤(rùn)}{總產(chǎn)量}$）．
（1）每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，利潤(rùn)L（x）有最大值？；
（2）每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤(rùn)P（x）有最大值？若該廠每天生產(chǎn)的最大規(guī)模為180件，那么每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤(rùn)P（x）有最大值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)利潤(rùn)=銷售收入-成本，結(jié)合銷售收入函數(shù)，利用配方法，即可得出結(jié)論；
（2）求出平均利潤(rùn)P（x），利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最大值．

解答 解：（1）依題意得利潤(rùn) $L（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000$，x∈（0，320]…（2分）
$L（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000=-\frac{1}{2}{（x-300）^2}+25000$…（3分）
∵x∈（0，320]，
∴當(dāng)x=300時(shí)，L（x）有最大值…（4分）
（2）依題意得  $P（x）=\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000}}{x}=-（\frac{1}{2}x+\frac{20000}{x}）+300$，x∈（0，320]…（6分）
$P'（x）=-\frac{1}{2}+\frac{20000}{x^2}=\frac{{40000-{x^2}}}{{2{x^2}}}$，
當(dāng)x∈（0，200）時(shí)，P'（x）＞0，P（x）在（0，200）遞增，
當(dāng)x∈（200，320）時(shí)，P'（x）＞0，P（x）在（0，200）遞增…（8分）
∴當(dāng)x=200時(shí)，P（x）有最大值…（9分）
若x∈（0，180]，由上可知P（x）在（0，180]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=180，平均利潤(rùn)P（x）有最大值…（11分）
答：（1）當(dāng)產(chǎn)量為300件時(shí)，L（x）有最大值；（2）當(dāng)產(chǎn)量為200時(shí)，P（x）有最大值，若該最大產(chǎn)量為180件時(shí)，則當(dāng)產(chǎn)量為180時(shí)，P（x）有最大值…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解．