Question

8．已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，且|PF₁|=2|PF₂|，則cos∠PF₂F₁=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運(yùn)用離心率公式可得c=2a，再由雙曲線的定義可得|PF₁|=2|PF₂|=4a，再由余弦定理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=2|PF₂|，可得|PF₁|=2|PF₂|=4a，
又|F₁F₂|=2c=4a，
在三角形PF₁F₂中，cos∠PF₂F₁=$\frac{|P{F}_{2}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}{2|P{F}_{2}|•|{F}_{1}{F}_{2}|}$
=$\frac{4{a}^{2}+16{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2a×4a}$=$\frac{1}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率公式的運(yùn)用，考查余弦定理的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．