Question

9．已知函數(shù)f（x）為定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，且它在[-2，0]上是增函數(shù)
（1）求f（0）的值
（2）證明：f（x）在[0，2]上也是增函數(shù)
（3）若f（a-1）+f（-1）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義得f（-0）=-f（0），化簡即可求出f（0）的值；
（2）任取0＜x₁＜x₂＜2，則0＞-x₁＞-x₂＞-2，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性的定義即可證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化不等式，由函數(shù)的定義域、單調(diào)性列出不等式組，求出解集可得a的取值范圍．

解答 解：（1）因f（x）為定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，
所以f（0）+f（-0）=0，即2f（0）=0，
故f（0）=0…（2分）
（2）任取0＜x₁＜x₂＜2，則0＞-x₁＞-x₂＞-2，
因f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，所以f（-x₁）＞f（-x₂）
因f（x）為定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，
所以-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），
即0＜x₁＜x₂＜2時，f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[0，2]上也是增函數(shù)…（7分）
（3）由f（a-1）+f（-1）＜0得，f（a-1）＜-f（-1），
因f（x）為定義在[-2，2]上的奇函數(shù)，則f（a-1）＜f（1）
由（2）知f（x）在整個定義域[-2，2]上是增函數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a-1≤2}\\{a-1＜1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤3}\\{a＜2}\end{array}\right.$，
故實數(shù)a的取值范圍是[-1，2）…（12分）

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，函數(shù)奇偶性的定義以及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．