Question

1．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{2+5alna}{2{a}^{2}-ab}$=$\frac{{c}^{2}-mc}{d-4}$=1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（a，b）和（c，d）的軌跡方程分別為y=f（x），y=g（x），若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，郡有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． $\frac{11-5ln2}{2}$
• B． 2
• C． 8-5ln2
• D． 7-5ln2

Answer 1

分析 根據(jù)a，b，c，d滿足的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系求出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)最值之間的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\frac{2+5alna}{2{a}^{2}-ab}$=$\frac{{c}^{2}-mc}{d-4}$=1，
∴$\frac{2+5alna}{2{a}^{2}-ab}$=1，即2+5alna=2a²-ab，
則a＞0，得b=2a-$\frac{2}{a}$-5lna，
即y=f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
由$\frac{{c}^{2}-mc}{d-4}$=1得c²-mc=d-4，
即d=c²-mc+4，
即y=g（x）=x²-mx+4，
若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，郡有f（x₁）≥g（x₂）成立，
則等價(jià)為當(dāng)x₁∈（0，1），x₂∈[1，2]時(shí)，f（x）_max≥g（x）_max，
∵y=f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-5lnx，
∴函數(shù)f′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$=（$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$）+2=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$
∴由f′（x）＞0得$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{{x}^{2}}$＞0得，2x²-5x+2＞0得，
x＞2（舍）或0＜x＜$\frac{1}{2}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得2x²-5x+2＜0得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∵x∈（0，1），∴$\frac{1}{2}$＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值同時(shí)也是最大值f（$\frac{1}{2}$）=2×$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{\frac{1}{2}}$-5ln$\frac{1}{2}$=1-4-5ln$\frac{1}{2}$=-3+5ln2，
即f（x）_max=-3+5ln2，
若f（x）_max≥g（x）_max，
則x²-mx+4≤-3+5ln2在x∈[1，2]上恒成立，
即x²+7-5ln2≤mx，
即m≥x+$\frac{7-5ln2}{x}$，
則y=x+$\frac{7-5ln2}{x}$在[1，$\sqrt{7-5ln2}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{7-5ln2}$，2]上為增函數(shù)
當(dāng)x=1時(shí)，y=1+7-5ln2=8-5ln2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2+$\frac{7-5ln2}{2}$=$\frac{11}{2}$-$\frac{5}{2}$ln2＜8-5ln2，
函數(shù)取得最大值為y=8-5ln2，
即m≥8-5ln2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件求出函數(shù)的關(guān)系式，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．