Question

6．設(shè)0＜x_n＜1，x_n+1=1-$\sqrt{1-{x}_{n}}$（n∈N），求$\underset{lim}{n→∞}$x_n．

Answer 1

分析 由題意可得1-x_n+1=$\sqrt{1-{x}_{n}}$，即為lg（1-x_n+1）=$\frac{1}{2}$lg（1-x_n），運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得通項(xiàng)，在意數(shù)列極限的求法，即可得到所求值．

解答 解：0＜x_n＜1，x_n+1=1-$\sqrt{1-{x}_{n}}$（n∈N），
可得1-x_n+1=$\sqrt{1-{x}_{n}}$，
即為lg（1-x_n+1）=$\frac{1}{2}$lg（1-x_n），
則{lg（1-x_n）}為$\frac{1}{2}$為公比，lg（1-x₁）為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
則lg（1-x_n）=lg（1-x₁）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有1-x_n=$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，即x_n=1-$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$，
則$\underset{lim}{n→∞}$x_n=$\underset{lim}{n→∞}$[1-$（1-{x}_{1}）^{\frac{1}{{2}^{n-1}}}$]
=1-（1-x₁）⁰=1-1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的極限的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．