Question

3．若f（x）=lnx-ax²+x是定義域上增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求f（x）=lnx-ax²+x的定義域，再求導(dǎo)并化簡f′（x）=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$，從而化單調(diào)性為f′（x）=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，從而討論a是否是0以確定不等式的次數(shù)并確定即可．

解答 解：f（x）=lnx-ax²+x的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax+1=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$，
∵f（x）=lnx-ax²+x是定義域上增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{1-2a{x}^{2}+x}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2ax²-x-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{-0-1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{0-0-1≤0}\end{array}\right.$；
解得，a≤0；
故a的取值范圍為（-∞，0]．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．