Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1-2a_n=2，數(shù)列b_n=log₂（a_n+2）．若S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則{$\frac{{{S_n}+4}}{n}$}的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法構(gòu)造{a_n+2}是公比q=2，首項(xiàng)為a₁+2=2+2=4的等比數(shù)列，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，求出S_n，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1-2a_n=2，
∴a_n+1=2a_n+2，
則a_n+1+2=2a_n+2+2=2（a_n+2），
則$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，
則數(shù)列{a_n+2}是公比q=2，首項(xiàng)為a₁+2=2+2=4的等比數(shù)列，
則a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
則b_n=log（a_n+2）=log₂（2ⁿ⁺¹）=n+1，
則S_n=2+3+…+（n+1）=$\frac{（2+n+1）×n}{2}$=$\frac{（n+3）n}{2}$，
則$\frac{{{S_n}+4}}{n}$=$\frac{\frac{（n+3）n}{2}+4}{n}$=$\frac{n+3}{2}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{n}{2}$+$\frac{4}{n}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{8}{n}$）+$\frac{3}{2}$，
∵t=n+$\frac{8}{n}$在[1，$\sqrt{8}$）上遞減，在[$\sqrt{8}$，+∞）為增函數(shù)，
則當(dāng)n=2時(shí)，t=n+$\frac{8}{n}$=2+$\frac{8}{2}$=2+4=6，
當(dāng)n=3時(shí)，t=n+$\frac{8}{n}$=3+$\frac{8}{3}$=$\frac{17}{3}$＞6，
則當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{{{S_n}+4}}{n}$取得最小值此時(shí)$\frac{{{S_n}+4}}{n}$═$\frac{1}{2}$×6+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列求和的應(yīng)用，根據(jù)遞推數(shù)列，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．