Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+3|-m，m＞0，f（x-3）≥0的解集為（-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若?x∈R，使得$f（x）≥|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t+1$成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將不等式轉(zhuǎn)化為|x|≥m，根據(jù)其解集情況，確定m；
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為不等式$|{x+3}|-|{2x-1}|≥-{t^2}+\frac{3}{2}t+3$，左邊構(gòu)造函數(shù)，只要求出其最大值，得到關(guān)于t的不等式解之即可．

解答 解：（1）因?yàn)椤遞（x）=|x+3|-m，
所以f（x-3）=|x|-m≥0，
∵m＞0，∴x≥m或x≤-m，
又∵f（x-3）≥0的解集為（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故m=2．•…（5分）
（2）$f（x）≥|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t+1$等價(jià)于不等式$|{x+3}|-|{2x-1}|≥-{t^2}+\frac{3}{2}t+3$，
設(shè)$g（x）=|{x+3}|-|{2x-1}|=\left\{\begin{array}{l}x-4，x≤-3\\ 3x+2，-3＜x＜\frac{1}{2}\\-x+4，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，•…（8分）
故$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{7}{2}$，
?x∈R，使得$f（x）≥|{2x-1}|-{t^2}+\frac{3}{2}t+1$成立，
則有$\frac{7}{2}≥-{t^2}+\frac{3}{2}t+3$，即2t²-3t+1≥0，解得$t≤\frac{1}{2}$或t≥1
即實(shí)數(shù)的取值范圍$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$•…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法以及求能成立問題參數(shù)范圍；關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用．