Question

13．已知四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為12π，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，則△PCD的面積為（　　）

• A． $\sqrt{7+2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{14}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)P到AB的距離為d，由球的半徑相等列式求得d，進(jìn)一步求得△PCD的邊CD上的高，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，設(shè)四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為r，

由四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為12π，得4πr²=12π，r=$\sqrt{3}$．
∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，設(shè)其中心為M，則MC=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
∴OM=1，又PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，
設(shè)P到AB的距離為d，則$（d-1）^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{3}）^{2}$，
解得：d=1+$\sqrt{2}$．
∴△PCD的邊CD上的高h(yuǎn)=$\sqrt{{2}^{2}+（1+\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{7+2\sqrt{2}}$，
則△PCD的面積為S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{7+2\sqrt{2}}=\sqrt{7+2\sqrt{2}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．