Question

13．已知z=a+bi（a、b∈R，i是虛數(shù)單位，$\overline{z_1}$是z的共軛復(fù)數(shù)），z₁，z₂∈C，定義D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．現(xiàn)有三個(gè)命題：
①D（${\overline{z_1}}$）=D（z₁）；       ②D（z₁，z₂）=D（z₂，z₁）；      ③λD（z₁，z₂）=D（λz₁，λz₂）．
其中為真命題的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②

Answer 1

分析 由已知新定義逐一計(jì)算三個(gè)命題的左右兩邊得答案．

解答 解：∵z=a+bi，且定義義D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．
不妨設(shè)z₁=a+bi（a，b∈R），z₂=c+di（c，d∈R），
則$\overline{{z}_{1}}=a-bi，\overline{{z}_{2}}=c-di$，
∴D（${\overline{z_1}}$）=|a|+|-b|=|a|+|b|，D（z₁）=|a|+|b|，則D（${\overline{z_1}}$）=D（z₁），故①正確；
 D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，D（z₂，z₁）=||（c-a）+（d-b）i||=|c-a|+|d-b|=|a-c|+|b-d|，故②正確；     
 λD（z₁，z₂）=λ|a-c|+λ|b-d|，D（λz₁，λz₂）=||λz₁-λz₂||=||（λa-λc）+（λb-λd）i||=|λa-λc|+|λb-λd|=|λ|D（z₁，z₂），故③錯(cuò)誤．
∴①②為真命題．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查新定義下的復(fù)數(shù)運(yùn)算，是中檔題．