Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值；
（Ⅲ）記函數(shù)y=f（x）的圖象為曲線C，設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N，試判斷曲線C在N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）＞0解出x的范圍即為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（II）討論極值點與區(qū)間的關(guān)系判斷f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的單調(diào)性，從而求出f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值；
（III）利用斜率公式求出k_AB，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線C在N處的切線斜率k，假設(shè)k_AB=k，令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，構(gòu)造函數(shù)g（t）=k_AB-k，判斷g（t）的單調(diào)性及零點得出結(jié)論．

解答 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=2ax+1-2a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+（1-2a）x-1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$．
∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，
令f′（x）＞0得x-1＞0，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（II）當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2a}$．
①當(dāng)-$\frac{1}{2a}$≥1即-$\frac{1}{2}$≤a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值為f（1）=1-a．
②當(dāng)$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2a}＜1$即-1$＜a＜-\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-$\frac{1}{2a}$，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值為f（-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$+ln（-2a）．
③當(dāng)-$\frac{1}{2a}$$≤\frac{1}{2}$即a≤-1時，f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值為f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}a+ln2$．
綜上，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}a+ln2，a≤-1}\\{1-\frac{1}{4a}+ln（-2a），-1＜a＜-\frac{1}{2}}\\{1-a，-\frac{1}{2}≤a＜0}\end{array}\right.$．
（III）設(shè)M（x₀，y₀），則x_N=x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．
直線AB的斜率k₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[a（x₂²-x₁²）+（1-2a）（x₂-x₁）+ln₁-lnx₂]=a（x₁+x₂）+（1-2a）+$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$．
曲線C在N處的切線斜率為k₂=f′（x₀）=2ax₀+1-2a-$\frac{1}{{x}_{0}}$=a（x₁+x₂）+1-2a-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．
假設(shè)曲線C在N處的切線平行于直線AB，則k₁=k₂，
∴$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，則lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，不妨設(shè)x₁＜x₂，則0＜t＜1．
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，則g′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（1+t）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴g（t）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴g（t）＜g（1）=0，即g（t）=0在（0，1）上無解，
∴曲線C在N處的切線不平行于直線AB．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分類討論思想，屬于中檔題．