Question

10．若曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程①x²-y²=1；②y=x²-|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$；⑤$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1對應的曲線中存在“自公切線”的有②③．

Answer 1

分析 ①x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切線．
③此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數有自公切線．
④結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
⑤$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，根據“自公切線”的定義，此曲線沒有自公切線．

解答 解：①x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②y=x²-|x|，在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$處的切線都是y=-$\frac{1}{4}$，故②有自公切線．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數有自公切線．
④由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，即 x²+2|x|+y²-3=0，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
⑤$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，根據“自公切線”的定義，此曲線沒有自公切線．
故答案為：②③．

點評 正確理解新定義“自公切線”，正確畫出函數的圖象、數形結合的思想方法是解題的關鍵．