Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數(shù)，ω＞0），若f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上具有單調(diào)性，且f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），則下列有關(guān)f（x）的命題正確的有①③④⑤（把所有正確的命題序號(hào)都寫(xiě)上）
①f（x）的最小正周期為2；
②f（x）在[1，$\frac{5}{3}$]上具有單調(diào)性；
③當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最值；
④y=f（x+$\frac{5}{6}$）為奇函數(shù)；
⑤（-$\frac{φ}{ω}$，-φ）是y=f（x）+ωx圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，和取得情況，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（0）=f（$\frac{2}{3}$），∴x=$\frac{0+\frac{2}{3}}{2}=\frac{1}{3}$是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，
故當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最值，故③正確，
∵f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），
∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{5}{6}$，0），
∵f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上具有單調(diào)性，
∴函數(shù)的周期T=4（$\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$）=4×$\frac{1}{2}=2$，故①正確，
由①知函數(shù)的周期是2，x=$\frac{1}{3}$是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，
則函數(shù)在[$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]上單調(diào)函數(shù)，在[$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{3}$]上單調(diào)函數(shù)，故在[1，$\frac{5}{3}$]上不具有單調(diào)性，故②錯(cuò)誤，
∵函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（$\frac{5}{6}$，0），
∴將函數(shù)f（x）向左平移$\frac{5}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x+$\frac{5}{6}$），
此時(shí)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即y=f（x+$\frac{5}{6}$）是奇函數(shù)，故④正確，
⑤f（-$\frac{φ}{ω}$）=sin[ω（-$\frac{φ}{ω}$）+φ]=sin（-φ+φ）=0，
則當(dāng)x=-$\frac{φ}{ω}$時(shí)，y=f（-$\frac{φ}{ω}$）+ω（-$\frac{φ}{ω}$）=0-φ=-φ，
即（-$\frac{φ}{ω}$，-φ）是y=f（x）+ωx圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．故⑤正確，
故正確的是①③④⑤，
故答案為：①③④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．