Question

1．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且y₁y₂=-4．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若k=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入拋物線，消x，利用y₁y₂=-4，求出p，即可求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|，求△OAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），…（2分）
代入拋物線，消x，得：ky²-2py-kp²=0，…（4分）
∴y₁y₂=-p²=-4，從而p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．     …（6分）
（Ⅱ）由已知，F(xiàn)（1，0），直線AB的方程為y=x-1，
代入拋物線，消x，得：y²-4y-4=0，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16}$=2$\sqrt{2}$…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．