Question

10．設(shè)f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）≤4
（2）若f（x）最小值是4，求實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入，利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)的形式，進(jìn)而分類討論各段上f（x）≤4的解，最后綜合討論結(jié)果，可得不等式f（x）≤4的解集．
（2）利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)的形式，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性可分析出函數(shù)的f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的最小值，得到實(shí)數(shù)a的取值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）≤4可化為：|x|+2|x-1|≤4，
當(dāng)x＜0時，原不等式可化為：2-3x≤4，解得：x≥$-\frac{2}{3}$，
∴$-\frac{2}{3}$≤x＜0，
當(dāng)0≤x≤1時，原不等式可化為：2-x≤4，解得：x≥-2，
∴0≤x≤1，
當(dāng)x＞1時，原不等式可化為：3x-2≤4，解得：x≤2，
∴0＜x≤2，
綜上所述不等式f（x）≤8的解集為[$-\frac{2}{3}$，2]
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}2a-3x，x＜0\\ 2a-x，0≤x≤a\\ 3x-2a，x＞a\end{array}\right.$
則f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=a時，f（x）取最小值a，
∴a=4

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對值不等式，其中利用零點(diǎn)分段法，將函數(shù)的解析式化成分段函數(shù)的形式，進(jìn)而分類討論是解答此類問題的通法．