Question

13．已知函數(shù)f（x）=|3x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$（a＞0）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由條件利用基本不等式求得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥4，結合題意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用單調性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{2}{3}}\\{-3x-2-x+1＜4}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}≤x＜1}\\{3x+2+1-x＜4}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x+2+x-1＜4}\end{array}\right.$③．
解①求得-$\frac{5}{4}$＜x＜-$\frac{2}{3}$，解②求得-$\frac{2}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得x∈∅．
綜上可得，不等式的解集為（-$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥2+2=4，當且僅當m=n=$\frac{1}{2}$時，取等號．
再根據(jù)|x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．
設g（x）=|x-a|-|3x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+2+a，x＜-\frac{2}{3}}\\{-4x+2+a，-\frac{2}{3}≤x≤a}\\{-2x-2-a，x＞a}\end{array}\right.$，故函數(shù)g（x）的最大值為g（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$+a，
再由$\frac{2}{3}$+a≤4，求得 0＜a≤$\frac{10}{3}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應用，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．