Question

15．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，P（-2，1）是C₁上一點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)A，B，Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點的對稱點，平行于AB的直線l交C₁于異于P、Q的兩點C，D，點C關(guān)于原點的對稱點為E．證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和P滿足橢圓方程，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（-2，-1），B（2，1），Q（2，-1），設(shè)直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（-x₁，-y₁），運用韋達(dá)定理，設(shè)直線PD，PE的斜率為k₁，k₂，要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證k₁+k₂=0，化簡整理，代入韋達(dá)定理，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a²-b²=c²，
將P（-2，1）代入橢圓方程可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）證明：A，B，Q是P（-2，1）分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點的對稱點，
可設(shè)A（-2，-1），B（2，1），Q（2，-1），
直線l的斜率為k=$\frac{1}{2}$，設(shè)直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，（t≠0）
代入橢圓x²+4y²=8，可得x²+2tx+2t²-4=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（-x₁，-y₁），
即有△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得-2＜t＜2，（t≠0）
x₁+x₂=-2t，x₁x₂=2t²-4，
設(shè)直線PD，PE的斜率為k₁，k₂，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}+2}$+$\frac{-{y}_{1}-1}{-{x}_{1}+2}$=$\frac{（2-{x}_{1}）（{y}_{2}-1）-（2+{x}_{2}）（{y}_{1}+1）}{（2+{x}_{2}）（2-{x}_{1}）}$，
要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，
只需證k₁+k₂=0，即（2-x₁）（y₂-1）-（2+x₂）（y₁+1）=0，
由y₁=$\frac{1}{2}$x₁+t，y₂=$\frac{1}{2}$x₂+t，
可得（2-x₁）（y₂-1）-（2+x₂）（y₁+1）=2（y₂-y₁）-（x₁y₂+x₂y₁）+x₁-x₂-4
=x₂-x₁-（x₁x₂+tx₁+tx₂）+x₁-x₂-4=-x₁x₂-t（x₁+x₂）-4
=-（2t²-4）+2t²-4=0，
則直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式和運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．