【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1﹣an﹣2n﹣2=0(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,若對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)m∈[﹣1,1]時(shí),不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意得an+1﹣an﹣2n﹣2=0,則an+1﹣an=2n+2,

∴an﹣an1=2n(n≥2),

∴a2﹣a1=2×2,a3﹣a2=2×3,…,an﹣an1=2n,

通過疊加得an=2(2+3+…+n)+a1

=2× +2=n(n+1)(n≥2).

又∵a1=2符合此通項(xiàng)公式,

∴an=n(n+1)


(2)解:由(1)得,

= +…+

=( )+( )+( )+…+(

= = = ,

設(shè)y=2x+ +3,則函數(shù)在( ,+∞)上遞增,

∴當(dāng)n=1時(shí), 取到最小值為6,

∴bn的最大值為 ,

故要使不等式 對(duì)一切m∈[﹣1,1]成立,

須使 ,即t2﹣2mt>0對(duì)一切m∈[﹣1,1]恒成立.

設(shè)g(m)=t2﹣2mt,

當(dāng)t=0時(shí),g(m)>0不成立,

當(dāng)t≠0時(shí),g(m)是一次函數(shù),

,即 ,解得t>2或t<﹣2,

綜上得,t的取值范圍是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)


【解析】(1)由題意得an﹣an1=2n(n≥2),再給n具體值列出方程,利用疊加法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,求出an;(2)由(1)表示出bn , 再通過裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)bn , 構(gòu)造函數(shù)y=2x+ +3判斷出單調(diào)性,再求出 的最小值,即求出bn的最大值,由恒成立列出不等式:t2﹣2mt>0,再一次構(gòu)造函數(shù)g(m)=t2﹣2mt,并進(jìn)行分類列出恒成立的條件,求出t的范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α< )的最小正周期是π,且當(dāng)x= 時(shí),f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在[0,π]上的圖象(要列表);
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,且y=g(x)是偶函數(shù),求m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若關(guān)于x的不等式(a2﹣a)4x﹣2x﹣1<0在區(qū)間(﹣∞,1]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
A.(﹣2,
B.(﹣∞,
C.(﹣ ,
D.(﹣∞,6]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),試求的單調(diào)增區(qū)間;

(2)試求上的最大值;

(3)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得 =80, =20, iyi=184, =720.(b=
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列四個(gè)命題:
①三點(diǎn)確定一個(gè)平面;
②三條兩兩相交的直線確定一個(gè)平面;
③在空間上,與不共面四點(diǎn)A,B,C,D距離相等的平面恰有7個(gè);
④兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域.
其中真命題的序號(hào)是 (寫出所有真命題的序號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱中,,,分別是的中點(diǎn),求證:

(1)平面

(2);

(3)平面平面.

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【題目】如圖,幾何體由一個(gè)正三棱柱截去一個(gè)三棱錐而得, , , 平面, 的中點(diǎn), 為棱上一點(diǎn),且平面.

(1)若在棱上,且,證明: 平面;

(2)過作平面的垂線,垂足為,確定的位置(說明作法及理由),并求線段的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為增強(qiáng)市民的環(huán)保意識(shí),某市面向全市增招環(huán)保知識(shí)義務(wù)宣傳志愿者,從符合條件的志愿者中隨機(jī)選取名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡(歲)分成五組:第,第,第,第,第,得到的頻率分布直方圖(局部)如圖所示.

(1)求第組的頻率,并在圖中補(bǔ)畫直方圖;

(2)從名志愿者中再選出年齡低于歲的志愿者名擔(dān)任主要宣講人,求這名主要宣講人的年齡在不同一組的概率.

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