Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，
即
又由f（1）=﹣f（﹣1）知 ．
所以a=2，b=1．
經檢驗a=2，b=1時， 是奇函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數．
又因為f（x）是奇函數，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因為f（x）為減函數，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2 ．
即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
從而判別式 ．
所以k的取值范圍是k＜﹣
【解析】（Ⅰ）利用奇函數定義，在f（﹣x）=﹣f（x）中的運用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先確定函數f（x）的單調性，然后結合奇函數的性質把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇函數的相關知識點，需要掌握一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數才能正確解答此題．