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【題目】已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)因為f(x)是奇函數,所以f(0)=0,

又由f(1)=﹣f(﹣1)知
所以a=2,b=1.
經檢驗a=2,b=1時, 是奇函數.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
易知f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數.
又因為f(x)是奇函數,
所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0
等價于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
因為f(x)為減函數,由上式可得:t2﹣2t>k﹣2t2
即對一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,
從而判別式
所以k的取值范圍是k<﹣
【解析】(Ⅰ)利用奇函數定義,在f(﹣x)=﹣f(x)中的運用特殊值求a,b的值;
(Ⅱ)首先確定函數f(x)的單調性,然后結合奇函數的性質把不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0轉化為關于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數的奇函數的相關知識點,需要掌握一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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t

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7

11

15

12

2

1

女同學人數

8

9

17

13

3

2

若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”.

(1)將頻率視為概率,估計該校4000名學生中“讀書迷”有多少人?

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