Question

17．已知z＞0，x+y+z=1，x²+y²+z²=3，則$\frac{xy}{z}$的最大值為$\frac{1}{15}$．

Answer 1

分析 由條件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得$\frac{xy}{z}$=z-$\frac{1}{z}$-1，利用導(dǎo)數(shù)的方法，可求$\frac{xy}{z}$的最大值．

解答 解：∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤$\frac{5}{3}$
令f（z）=$\frac{xy}{z}$=z-$\frac{1}{z}$-1，則f′（z）=1+$\frac{1}{{z}^{2}}$＞0
∴f（z）在區(qū)間（0，$\frac{5}{3}$]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)z=$\frac{5}{3}$時(shí)，f（z）=$\frac{xy}{z}$的值為$\frac{1}{15}$，
∴$\frac{xy}{z}$的最大值為$\frac{1}{15}$．
故答案為：$\frac{1}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化，從而利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．