Question

1．在直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）的軌跡方程C；
（Ⅱ）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，把（Ⅰ）中的曲線C化為極坐標(biāo)方程，并判斷其與曲線$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ-3=0$的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，把復(fù)數(shù)的模轉(zhuǎn)化為圓的方程，進(jìn)一步把圓的標(biāo)準(zhǔn)式轉(zhuǎn)化為一般式，
（Ⅱ）根據(jù)題意把圓的一般式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．再把直線的極坐標(biāo)式轉(zhuǎn)化為普通式，再利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷直線和圓的關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）依題意復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1．設(shè)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），
則點(diǎn)的軌跡方程C為：（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）首先把（x-1）²+y²=1轉(zhuǎn)化為：x²+y²-2x=0，
再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為：ρ²-2ρcosθ=0，
∴ρ=2cosθ．
把$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ-3=0化為直角坐標(biāo)方程為x+\sqrt{3}y-3=0$．
$d=\frac{{|{1-3}|}}{{\sqrt{{1^2}+（\sqrt{3}}{）^2}}}=1$．
由于d=r
∴直線與圓相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)數(shù)幾何意義得應(yīng)用，圓的普通式和標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系得應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．