Question

7．已知△ABC是正三角形，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$-$λ\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{AC}$的夾角大于90°，則實數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-2）
• C． （-∞，-1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 首先將三角形的頂點坐標(biāo)化，根據(jù)向量的夾角為鈍角，得到數(shù)量積公式小于0，求出λ范圍．

解答 解：以A為原點，AB所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），則$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（1，0），
$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$-$λ\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{AC}$的夾角θ大于90°，
所以cosθ＜0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AC}$＜0，
所以$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-λ）+\frac{3}{4}＜0$，解得λ＞2；
故選A．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運用；向量夾角為鈍角，則它們的數(shù)量積小于0．