Question

1．求函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析 令t=x²-2x，則y=（$\frac{1}{2}$）^t，函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$=（$\frac{1}{2}$）^t，求得二次函數(shù)t的增區(qū)間，即為函數(shù)y的減區(qū)間；求得二次函數(shù)t的減區(qū)間，即為函數(shù)y的增區(qū)間．而t=（x-1）²-1≥-1，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)y的值域．

解答 解：令t=x²-2x，則y=（$\frac{1}{2}$）^t，
由于二次函數(shù)t的對稱軸為 x=1，
可得函數(shù)t在（-∞，1]上是減函數(shù)，函數(shù)y在（-∞，1]上是增函數(shù)，
故函數(shù)y的增區(qū)間為（-∞，1]；
函數(shù)t在（1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)y在（1，+∞）是減函數(shù)，
故函數(shù)y的減區(qū)間為（1，+∞）．
而t=（x-1）²-1≥-1，
所以y=（$\frac{1}{2}$）^t≤（$\frac{1}{2}$）^-1=2，
又y＞0，即有0＜y≤2．
故所求的函數(shù)的值域是（0，2]．

點評 本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．