Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=1+sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α∈R），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線${C_2}：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁和曲線C₂相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程互化方法，求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁和曲線C₂相交于A，B兩點(diǎn)，求出圓心到直線的距離，即可求|AB|的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=1+sinα\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y-1=sinα\end{array}\right.⇒{x^2}+{（y-1）^2}=1$…3分
由$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}⇒\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρsinθ-\frac{{\sqrt{2}}}{2}ρcosθ=\sqrt{2}⇒y-x=2$
即C₂：x-y+2=0．…6分
（Ⅱ）∵直線x-y+2=0與圓x²+（y-1）²=1相交于A，B兩點(diǎn)，
又x²+（y-1）²=1的圓心（0，1），為半徑為1，
故圓心到直線的距離$d=\frac{|0-1+2|}{{\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{1^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\sqrt{2}$．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的互互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．