Question

7．給出以下命題：
①f（x）=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈Z）對(duì)稱；
②f（x）=-cos（kπ+x）（k∈Z）是偶函數(shù)；
③f（x）=cos|x|的最小正周期為π的周期函數(shù)；
④y=3|sinx|+4|cosx|的最大值為5；
⑤y=sin²x-cosx的最小值為-1．
其中所有真命題序號(hào)是①②④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性，可判斷①；根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的奇偶性，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)折變換和余弦函數(shù)的奇偶性，可判斷③；求出函數(shù)的最大值，可判斷④；求出函數(shù)的最小值，可判斷⑤．

解答 解：f（x）=tanx的圖象的對(duì)稱中心為：（$\frac{1}{2}$kπ，0）（k∈Z），點(diǎn)（kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈Z）均為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，故①正確；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f（x）=-cos（kπ+x）=cosx為偶函數(shù)；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）=-cos（kπ+x）=-cosx為偶函數(shù)，故②正確；
f（x）=cos|x|=cosx是最小正周期為2π的周期函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
y=3|sinx|+4|cosx|的值域等于y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域，其中φ是滿足sinφ=$\frac{4}{5}$，cosφ=$\frac{3}{5}$的銳角，
故當(dāng)x+φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)的最大值為5，故④正確；
y=sin²x-cosx=1-cos²x-cosx=-（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)取最小值為-1，故⑤正確；
故真命題的序號(hào)是：①②④⑤，
故答案為：①②④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握各種三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．