分析 (1)先求出OD=$\sqrt{3}$,OB=$\sqrt{3}$,連結(jié)BD,求出BD=$\sqrt{6}$,由勾股定理逆定理得OD⊥OB.
(2)以F這原點(diǎn),在平面BFC中過(guò)F作FC的垂線為x軸,F(xiàn)C為y軸,F(xiàn)E作z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面DOB與平面BFC所成角的余弦值.
解答 證明:(1)由題設(shè)知OD=$\sqrt{O{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
OB=$\sqrt{O{F}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
連結(jié)BD,在Rt△BCD中,BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+2}$=$\sqrt{6}$,
∴OD2+OB2=BD2=6,
由勾股定理逆定理得OD⊥OB.
解:(2)以F這原點(diǎn),在平面BFC中過(guò)F作FC的垂線為x軸,F(xiàn)C為y軸,F(xiàn)E作z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,1),B($\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-1$),D(0,$\sqrt{2}$,2),F(xiàn)(0,0,0),
∴$\overrightarrow{OB}$=($\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$,-1),$\overrightarrow{OD}$=(0,$\sqrt{2}$,1),$\overrightarrow{FO}$=(0,0,1),
設(shè)平面OBD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$,令y=-$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{6}$,-$\sqrt{2}$,2),
平面FBC的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6+2+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴平面DOB與平面BFC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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