Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，且b₁+b₂+b₃=3，b₁b₂b₃=-3，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出a₁q=2，從而得到（1-log₂q）（1+log₂q）=1-（log₂q）²=-3，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，且b₁+b₂+b₃=3，b₁b₂b₃=-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}{a}_{1}+lo{g}_{2}（{a}_{1}q）+lo{g}_{2}（{a}_{1}{q}^{2}）=3}\\{lo{g}_{2}{a}_{1}×lo{g}_{2}（{a}_{1}q）×lo{g}_{2}（a}_{1}{q}^{2}）=-3}\end{array}\right.$，
∴${（a}_{1}q）^{3}={2}^{3}$，解得a₁q=2，
∴$lo{g}_{2}（\frac{2}{q}）×lo{g}_{2}（2q）=-3$，即（1-log₂q）（1+log₂q）=1-（log₂q）²=-3，
解得log₂q=2，或log₂q=-2，
∴q=4，或q=$\frac{1}{4}$，
當q=4時${a}_{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，${a}_{n}=\frac{1}{2}×{4}^{n-1}$．
當q=$\frac{1}{4}$時，${a}_{1}=\frac{2}{\frac{1}{4}}$=8，${a}_{n}=8×（\frac{1}{4}）^{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為${a}_{n}=\frac{1}{2}×{4}^{n-1}$或${a}_{n}=8×（\frac{1}{4}）^{n-1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的合理運用．