【題目】點P為棱長是2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動點，點M為的中點，若滿足，則動點P的軌跡的長度為( )

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

根據(jù)正方體的性質(zhì)及,可判斷點的軌跡為平面與內(nèi)切球的交線,即所得小圓的圓周即為動點的軌跡.結(jié)合球的幾何性質(zhì),即可求得小圓的周長,即為動點P的軌跡長度.

根據(jù)題意,點P為棱長是2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動點,點M為的中點,設(shè)中點為,中點為,如下圖所示:

在平面中,

由題意可知,

為在平面內(nèi)的射影,所以直線在過點且與垂直的平面內(nèi)

又因為在正方體內(nèi)切球的球面上

所以點的軌跡為正方體的內(nèi)切球與過且與垂直的平面相交得到的小圓,即的軌跡為過的平面即為平面與內(nèi)切球的交線

因為位于平面內(nèi),

設(shè)到平面的距離為

所以由,可得

代入可得,解得

正方體的內(nèi)切球半徑為

由圓的幾何性質(zhì)可得所截小圓的半徑為

所以小圓的周長為

即動點P的軌跡的長度為

故選:C

練習(xí)冊系列答案
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【題目】一研學(xué)實踐活動小組利用課余時間，對某公司1月份至5月份銷售某種產(chǎn)品的銷售量及銷售單價進行了調(diào)查，月銷售單價（單位：元）和月銷售量（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份

1

2

3

4

5

月銷售單價（元）

1.6

1.8

2

2.2

2.4

月銷售量（百件）

10

8

7

6

4

（1）根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程；

（2）預(yù)計在今后的銷售中，月銷售量與月銷售單價仍然服從（1）中的關(guān)系，若該種產(chǎn)品的成本是1元/件，那么該產(chǎn)品的月銷售單價應(yīng)定為多少元才能獲得最大月利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）

（回歸直線方程，其中.參考數(shù)據(jù)：，）

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【題目】已知定義域為的函數(shù)（，）

（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)為導(dǎo)數(shù)，

（i）證明：當(dāng)，時，；

（ii）設(shè)關(guān)于的方程的根為，求證：

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【題目】已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.

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【題目】已知，直線與函數(shù)的圖象在處相切，設(shè)，若在區(qū)間[1，2]上，不等式恒成立．則實數(shù)m（ ）

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0）．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB的長度為2，求直線l的普通方程．

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【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.

(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;

(2)點P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.

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（1）證明：；

（2）若點為線段的中點，平面平面，求二面角的余弦值.

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（1）求的值；

（2）求四邊形的面積的最小值．

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