Question

20．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}=4{a}_{1}$，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 把所給的數(shù)列的三項(xiàng)之間的關(guān)系，寫出用第五項(xiàng)和公比來表示的形式，求出公比的值，整理所給的條件，寫出m，n之間的關(guān)系，用基本不等式得到最小值．

解答 解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}=4{a}_{1}$，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴q^m+n-2=16=2⁴，而q=2，
∴m+n-2=4，
∴m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+4）=$\frac{3}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=4時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式，實(shí)際上應(yīng)用基本不等式是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，注意當(dāng)兩個(gè)數(shù)字的和是定值，要求兩個(gè)變量的倒數(shù)之和的最小值時(shí)，要乘以兩個(gè)數(shù)字之和